Faktorenanalyse

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Beispiel an einem hochdimensionalen Raum mit vielen Variablen (schwarz) und drei Faktoren (rot)

Als Faktorenanalyse (eigentlich Faktorenanalysen) bezeichnet man eine Sammlung häufig gemeinsam angewendeter statistischer Verfahren, mit denen mehrere Variablen zu einigen wenigen Faktoren zusammengefasst werden können.

Ziele

Das Hauptziel der Faktorenanalyse besteht darin herauszufinden, wieviele Aspekte (Dimensionen) es gibt (z.B. Zufriedenheit: zufrieden mit Personal, Hotelleistung, Behandlung).

• welche Faktoren korrelieren wie miteinander?
• Welche Faktoren gehören zusammen?

Solange der Eigenwert größer 1 ist, trägt er zur Klärung der Frage bei und ist als Faktor (Dimension) zu betrachten (Kaisers Eigenwertkriterium für standardisierte Daten). Trägt man die berechneten Eigenwerte vom größten bis zum kleinsten Wert in ein Diagramm ein, so entsteht ein Screeplot. Nach dem Ellenbogenkriterium kann man abschätzen, wie viele der Faktoren tatsächlich Sinn machen. Der Anzahl lässt sich dort ablesen, wo der Graph ellenbogenförmig abknickt. Die Zahl liegt oft unter Kaisers Eigenwertkriterium.

Voraussetzungen der Faktorenanalyse

1. Alle Variablen müssen mindestens intervallskaliert sein.
2. Die Stichprobe muss repräsentativ sein.
3. Der Analytiker muss eine inhaltlich gute Vorstellung über die Bedeutung der Variablen haben, da sich Unsicherheiten auf die Interpretation der entstehenden Faktoren auswirken und den Interpretationsspielraum vergrößern können. (Beispielsweise sollte ein Fragebogen zur Intelligenz nicht von einem Mathematiker, sondern von einem Psychologen analysiert werden.)
4. Die entstehenden Faktoren müssen sich hinsichtlich ihrer Eigenwerte und Ladungen hinreichend gut voneinander abgrenzen lassen.

wichtige Begriffe

Variablen

• Es sind immer die zu Beginn der Rechnung vorhandenen Variablen gemeint, die faktorisiert werden sollen. Wenn diese Variablen Messwerte enthalten, soll der Begriff "Observable" (Beobachtungswerte-Variable) verwendet werden. Die Faktorenanalyse wird in der Praxis meistens an Messwertvariablen durchgeführt. Die Variablen sind deshalb auch meistens manifest. Es ist selbstverständlich auch möglich, eine Faktorenanalyse teilweise oder vollständig mit nicht-manifesten Variablen zu rechnen.
• Die Variablen bilden in einem Datensatz den Ausgangszustand.

Faktor

• Hiermit wird immer eine Variable bezeichnet, die durch Faktorisierung entstanden ist. Der Faktor „bündelt“ die anfänglich vorhandenen Variablen. Ein Faktor ist immer eine latente Variable. Er kann nie Messwerte enthalten und ist ohne eine eigene Hypothese inhaltlich nutzlos. Wenn es nicht möglich ist, den Faktor zu hypothetisieren, kann eine berechnete Faktorenanalyse nicht ausgewertet werden.
• Der Faktor ist zugleich eine Dimension des Faktorenraumes.
• Die Faktoren stellen in einem Datensatz den zu erreichenden Zielzustand dar.

Faktorenraum

• Ein Raum, der durch die Faktoren aufgespannt wird. Er entsteht durch die Extraktion und ist meist vieldimensional. Von diesen Dimensionen werden nur jene weiterhin genutzt, die genügend Varianz der Variable aufklären. Dies sind meist auch jene, die inhaltlich vorstellbar sind. Der Faktorenraum kann durch wiederholte Rechnung der Extraktion mit jeweils veränderten Kriterien optimiert werden.

Extraktion

• Die Rechenmethode, mit der die in den Variablen enthaltene Varianz „extrahiert“ wird. Die Extraktion erzeugt die Faktoren. Es gibt verschiedene Rechenmethoden, die zur Extraktion verwendet werden können. Sie weisen jeweils Vor- und Nachteile auf. Eine allgemeingültige Extraktionsmethode gibt es nicht. Der Anwender muss sich anhand von Kriterien für jene Extraktionsmethode entscheiden, die für ihn am geeignetsten ist.

Faktorladung

• Die Korrelation einer Variablen mit einem Faktor. Man spricht davon, dass Variable X auf den Faktor Y mit dem Wert a lädt. Je kürzer die räumliche Entfernung zwischen Faktor und Variable im Faktorraum, desto höher die Korrelation.
• Eine positive (negative) Faktorladung sagt aus, dass der Faktor positiv (negativ) mit der Variable korreliert. Bei einer Faktorladung von „0“ sind der Faktor und die Variable voneinander stochastisch unabhängig. Eine Faktorladung von „1“ bedeutet, dass der Faktor vollständig mit der Variable korreliert, da beide identisch sind.

Eigenwert eines Faktors (engl. ebenfalls eigenvalue genannt)

• Wert der Gesamtvarianz aller Variablen, den dieser Faktor aufklärt. Der Eigenwert ergibt sich unabhängig von der jeweiligen Extraktionsmethode immer aus der Summe aller quadrierten Faktorladungen des Faktors.
• Die Eigenwerte der zur Rotation ausgewählten Faktoren ändern sich mit der Rotation (d.h. ein Faktor mit Eigenwert 7 kann nach der Rotation den Eigenwert 5 haben). Die Summe aller Eigenwerte bleibt allerdings gleich.
• Der Eigenwert ist ein Qualitätskriterium für den Faktor. Je höher der Eigenwert des Faktors, desto lukrativer ist es, ihm eine Hypothese zuzuschreiben, die ihn mit inhaltlichen Aspekten der Untersuchung verbindet.

Kommunalität

• Summe der quadrierten Faktorladungen einer Variablen. Die Kommunalität gibt an, in welchem Maße die Varianz einer Variablen durch alle Faktoren aufgeklärt wird. Eine Variable mit einer geringen Kommunalität wird durch das Modell insgesamt schlecht vertreten.
• Die Kommunalität ist ein Kriterium dafür, wie gut eine Variable in den Reigen der anderen Variablen passt. Eine geringe Kommunalität weist darauf hin, dass man diese Variable vielleicht zu Unrecht zu den anderen gesteckt hat, weil ihre Varianz stark abweicht. Vermutlich liegt dem Antwortverhalten der Probanden für dieses Item eine andere Gesetzmäßigkeit zugrunde, die man zuvor nicht beachtet hat. So könnte beispielsweise die Variable 5 im obigen Beispiel eine geringe Kommunalität aufweisen, weil Menschen nicht nur Kaffee trinken, wenn sie oft müde sind, sondern einfach, weil er ihnen schmeckt.

Rotation

• Verschiedene statistische Verfahren zur Anpassung des Koordinatenkreuzes an die beobachteten Effekte. Durch eine geeignete Rotation lassen sich die Faktorladungen im Sinne von Thurstones Einfachstruktur (simple structure) so optimieren, dass auf jedem der Faktoren einige Variablen möglichst hoch, die anderen möglichst niedrig laden. Dies erleichtert die Interpretation der Faktoren.

siehe auch

• Regressionsanalyse

Weblinks

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